방정식의 근(이차방정식, 삼차방정식, 사차방정식)

■ 방정식의 근

1. 대수학의 기본 정리
이차방정식 의 근은 복소수 범위에서 근의 공식에 의하여 

 

의 2개의 근을 가지게 된다. 따라서, 임의의 이차식은 복소수 범위에서 2개의 일차식의 곱으로 인수분해됨을 알 수 있다. 

한편, 실수 계수를 가지는 임의의 n차 방정식은 범위에서는 중복을 허락하여 꼭 n개의 근을 가짐이 증명되었는데, 이것을 ‘대수학의 기본 정리’라고 부른다. 

이에 따르면  와 같이 일차식으로 나누어 쓸 때, 임의의 n차 식은 복소수의 범위에서 n개의 일차식의 곱으로 인수분해할 수 있음을 알 수 있다.

계수가 모두 실수인 방정식이 한 허근 를 가지면 켤레 복소수인  도 그 방정식의 근이 됨이 알려져 있다. 따라서 한 허근을 가지는 방정식은

을 인수로 가지게 된다.

이 때,  은 모두 실수이므로 임의의 n차 다항식은 실수 범위에서는  형태의 일차식과   형태의 이차식의 곱으로 인수분해할 수 있음을 알 수 있다.

2. 삼차방정식의 근(Cardano 해법)

삼차방정식 의 해법

를 대입하여 계산하면

 이 된다.

위 등식의 양변에 a로 나누면

 로 놓으면

---ⓛ 인 삼차방정식이 된다.

위 등식을 풀기위해  로 놓으면

이 식을 ①과 비교하면

가 된다. 이 식에서  과 을 구하기 위하여 이 두 값을 두 근으로 하는 이차방정식을 만들면 이다. 따라서,

으로 놓을 수 있다. 그러므로

은 방정식의 한 근이 된다. 또, 가 ①의 한근이면

도 ①의 근이 된다. 여기서, 는 을 만족하는 값이다.

따라서, 방정식 ①의 근은

이다.

3. 4차방정식의 해법(Ferrari의 해법)

사차방정식 의 해법

를 대입하여 정리하면 삼차항이 없어져서

의 형태가 된다. 이 때,  의 양변에 을 더하여 정리하면

 --- ②

이 된다. 이제 우변의 식이 완전제곱식이 되도록 하려면

이 되어야 한다. 즉, 위의 t에 대한 3차 방정식의 근을 택하여 ②에 대입하면 된다.

따라서, 이 3차 방정식을 만족하는 t에 대하여 ②의 식은

이 되고, 따라서

의 두 이차방정식으로 변환된다. 따라서, y의 값은 이 두 이차방정식의 해 4개가 되며, 이 값을  에 대입하면 주어진 4차 방정식의 해 4개를 얻을 수 있다.