Pappus의 삼각형의 중선정리

Pappus의 삼각형의 중선정리

  

삼각형 ABC에 대하여 변 BC의 중점을 D라 하면 

증명1) 좌표를 이용한 증명 
BC를 x축위에 그리고 BC의 중점 M를 원점으로 정하자. 
A(a,b) B(-c,0) C(c,0), M(0,0) 
AB의 거리, AC의 거리를 각각구하여 제곱한 다음 더하면 AM의 거리와 BM의 거리의 제곱의 합과 같음을 알 수 있다. 

따라서 

증명2) 코사인 제 2법칙을 이용한 증명 
각 ADB + 각ADC =180도 
각 ADB=x 라 하면 각ADC=180도 -x 라 놓으면 

위 두 식을 더하면 증명됩니다. 

증명3) 피타고라스정리를 이용한 증명 
 

따라서

위의 첫 번째와 두 번째를 합하면 증명됩니다. 
 
위 삼각형의 중선정리를 이용하여 삼각형의 두변의 길이의 제곱의 합을 구하는 문제가 가끔 등장합니다. 이때 이 중선정리를 이용하면 쉽게 문제를 풀 수 있는 경우가 많습니다. 그러니 잘 기억해 두었다가 활용할 수 있었으면 합니다.