완전수

"박사가 사랑한 수식"을 읽으면서 숫자에 대한 여려가지 매력적인 것들이 있어 찾아 올려 봅니다. 

완전수(perfect number) : 자연수로서 자신을 제외한 약수들의 합이 자기 자신이 되는 수이다. 

즉, 자연수 n의 약수 중 n 자신을 제외한 약수의 합이 n 자신과 같게 될 때, n을 완전수라고 한다. 

예: 6 = 1+2+3, 28=1+2+4+7+8+14 

완전수에는 다음과 같은 것이 있습니다. 
6 
28 
496 
33,550,336 
8,589,869,056 
137,438,691,328 
2,305,843,008,139,952,128 
26,584,559,915,698,317,446,542,615,953,842,176 
..... 

또한 완전수는 연속되는 자연수의 합으로 표현 할수도 있음 
6=1+2+3 
28=1+2+3+4+5+6+7 
496=1+2+3+4+5+6+7+ ㆍㆍㆍ+30+31 
33,550,336 =1+2+3+4+5+6+7+ㆍㆍㆍ +8190+8191
8,589,869,056 =1+2+3+4+5+6+7+ ㆍㆍㆍ  + 131070+131071
..........
 
무수한 '수' 중에서 완전수가 되는 것을 어떻게 찾을 수 있을까? 

그것은 결코 쉽지 않을 것이다. 

무수한 수의 약수를 모두 더해서 구할 수는 없을 것이기 때문이다. 결국 어떠한 법칙을 찾아내야 되는데 유클리드는 이미 기하학원본에서 “2ⁿ-1이 소수라면 2^n-1(2ⁿ-1)은 완전수이다.”라고 정의하고 증명하였다. 
 
소수는 결코 완전수가 되지 않는다는 것은 간단히 알 수 있다. 

3의 약수는(자신을 제외하면) 1뿐이고, 5도, 7도, … 약수는 모두 1뿐이기 때문이다. 
 
소수의 제곱, 가령 3²=9는 약수가 1과 3뿐이기 때문에 완전수가 아니다. 요컨데 소수는 몇 제곱을 하여도 완전수가 되지 않는다. 
 
유클리드는 이런 식으로 계속 따져서 2ⁿ-1(n은 2보다 큰 정수)이 소수이면, 2^n-1×(2ⁿ-1)이 완전수가 된다는 것을 증명하였다. 이 공식에 의하여 셈하여 보면, n=2,3,5,7,13,17,19,31,61일 때, 2ⁿ-1은 각각 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305854009213693951인 데 이것들도 모두 소수이다. (2ⁿ-1이 소수일 필요조건이다)
 
1952년까지 12개의 완전수가 알려졌는데, 그것들은 모두 짝수이고, 첫 세 수는 6, 28, 496이다. 유클리드 원본 제Ⅳ권의 마지막 정리는 “ 2ⁿ-1이 소수이면 2^n-1(2ⁿ-1)은 완전수이다.”라는 사실을 증명하고 있다. 유클리드의 공식으로 주어지는 완전수들은 짝수인 데 오일러는 짝수인 모든 완전수는 이와 같은 꼴이어야 한다는 사실을 밝혔다. 홀수인 완전수의 존재성 여부는 '수론'에서 유명한 미해결 문제의 하나이다. 100¹⁰⁰보다 작은 수 중에 그와 같은 수는 없다. 
 
1952년에 SWAC 계수형 계산기의 도움으로 또 다른 다섯 개의 완전수가 발견되었는데, 유클리드의 공식에서 n = 521, 607, 1279, 2203, 2281에 각각 대응하는 수들이다. 1957년에는 스웨덴의 계산기 BESK에 의해 n = 3217에 대응하는 또 다른 수가 발견되었고, 1961년에는 IBM 7090에 의해 n = 4253, 4423에 대응하는 또 다른 두 개의 수가 발견되었다. 

n<5000에 대응하는 이와 같은 수 이외의 완전수는 없다. n=9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497도 완전수를 만든다는 사실이 발견되었다. 
 
또한 1980년 n=86243, 110503, 132049, 216091 등이 1994년에 이르러 n=756839, 859433 등이 각각 발견되어 현재까지 33개의 완전수가 알려지고 있다. 
 
고대와 신플라톤주의의 수 체계에서 6은 가장 완전한 수였다. 왜냐 하면 6은 6의 약수들의 합이자 곱이기 때문이다. 다시 말해 1+2+3인 경우에도 6이 되고, 1×2×3인 경우에도 6이 된다. 6은 최초의 남성의 수와 최초의 여성의 수의 곱이기도 하다. 심리학적 관점에서 보면, 2×3은 가장 간단한 형식의 분석과 종합이다. 따라서 정육면체를 이루는 여섯 개의 정방형은 밀폐된 건축물의 이상적인 형태가 된다. 
 
그런가 하면 기독교에서의 6이란 숫자는 커다란 의미를 지니고 있는데 창세기에서의 천지창조가 6일만에 완성되었기 때문이다. 그것은 6일간은 일하고 나머지 하루는 쉬는 7일을 1주일로 잡는 체계를 마련하였으며 땅을 경작할 때 6년간은 경작하고 7년째는 안식년을 두어 경작하지 않았던 것도 그와 같은 의미에서였다. 또한 요한계시록에서 최후의 심판을 알리는 나팔을 부는 천사들도 여섯이며, 마지막 일곱째 천사는 하느님의 비밀이 완성되면 비로소 나팔을 불게 된다. 
 
이밖에도 조로아스터교나 이슬람교에서도 6이란 숫자에 특별한 의미를 부여하는 수령술적인 해석을 하고 있다. 
 
그런가 하면 또 하나의 완전수인 28은 달과 관계된 수로서 이슬람교에서 중요한 역할을 한다. 왜냐하면 신의 말씀인 『코란』을 기록하는 아랍 알파벳의 28자는 달의 주기와 관련이 있기 때문이다. 중세의 위대한 수학자이자 역사가인 알비루니(al-Biruni)는 이를 근거로 삼아 우주와 신의 말씀 사이에는 깊고 심오한 연관이 있음을 입증해 보였다. 마호메트 이전에 스물 여덟 예언자가 있었다는 가정도 이러한 관념에 부합된다. 위대한 예언자 마호메트와 이전의 다른 예언자들의 관계는 보름달과 그 주위에 있는 뭇 별들의 관계로 비유될 수 있다.