정다면체 증명

정다면체(正多面體, regular polyhedron)

 

모든 면이 서로 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은 볼록한 다면체를 정다면체(正多面體)라 한다.

정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지만 있다.

 

■ 증명

정다면체의 면(face), 모서리(edge), 꼭짓점(vertex)의 개수를 각각 f, e, v 라 하면, 오일러의 다면체 정리에 의해

이다. 정다면체의 각 꼭지점에 정n각형이 a개 모인다고 하자.

예를 들면, 다음 그림과 같이 정육면체는 각 꼭지점에 정사각형이 3개 모인다. ( )

1) 정다면체의 면의 개수 f를 구하자. 한 모서리에 면이 2개씩 생기므로 e개의 모서리에는 2e개의 면이 생긴다. 그 중에 n개씩 중복되므로 정다면체의 꼭짓점의 개수 v를 구하자. 한 모서리에 꼭짓점이 2개씩 생기므로 e개의 모서리에는 2e개의 꼭짓점이 생긴다 그 중에 a개씩 중복되므로 

 

2) 정 n각형에서 n≥3이다. 또, 다면체가 되려면 한 꼭짓점에 3개 이상의 면이 모여야 하므로 a≥3 이다.

 

3) 정 n각형의 한 내각의 크기는 이고, 한 꼭짓점에 정 n각형이 a개 모일 때 내각의 합은 360도를 넘을 수 없으므로 

위식을 간단하게 정리하면 

곱하기 형태로 만들고 n, a는 3이상인 자연수이다.

의 해를 구하면

의 순서쌍은

(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1)

따라서 (n, a)의 순서쌍은

(3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3)

따라서 정다면체는 5개뿐이다.

즉, (3, 3) : 정사면체, (3, 4) : 정팔면체, (4, 3) : 정육면체, (3, 5) : 정이십면체, (5, 3) : 정십이면체 이다.

■ 정다면체의 종류

이제 정다면체의 정체를 알아보자.

(1) 일 때

한 꼭짓점에 정삼각형이 3개 모일 때

이므로 오일러의 다면체 정리 ①에서 e=6, f=4

즉, 정삼각형이 f=4개 모여서 정사면체가 된다.

n각형=3, 모이는 꼭짓점 a의 개수=3, f=4, e=6, v=4

(2) 일 때

한 꼭짓점에 정삼각형이 4개 모일 때

이므로 오일러의 다면체 정리 ①에서 e=12, f=8

즉, 정삼각형이 f=8개 모여서 정팔면체가 된다.

n각형=3, 모이는 꼭짓점 a의 개수=4, f=8, e=12, v=6

(3) 일 때

한 꼭짓점에 정사각형이 3개 모일 때

이므로 오일러의 다면체 정리 ①에서 e=12, f=6

즉, 정삼각형이 f=6개 모여서 정육면체가 된다.

n각형=4, 모이는 꼭짓점 a의 개수=3, f=6, e=12, v=8

(4) 일 때

한 꼭짓점에 정삼각형이 5개 모일 때

이므로 오일러의 다면체 정리 ①에서 e=30, f=20

즉, 정삼각형이 f=20개 모여서 정이십면체가 된다.

n각형=3, 모이는 꼭짓점 a의 개수=5, f=20, e=30, v=12

(5) 일 때

한 꼭짓점에 정오각형이 3개 모일 때

이므로 오일러의 다면체 정리 ①에서 e=30, f=12

즉, 정삼각형이 f=12개 모여서 정십이면체가 된다.

n각형=5, 모이는 꼭짓점 a의 개수=3, f=12, e=30, v=20

     <그림출처: 천재교육>