오일러의 다면체 정리

오일러의 다면체 정리

 

다각형으로 둘러싸인 입체도형을 다면체(多面體)라 한다. 이때 다면체를 둘러싸고 있는 다각형을 면이라 부르고, 다각형의 변을 모서리라 부르고 모서리가 만나는 점을 꼭지점이라 한다.

영어의 앞 글자를 따서 꼭지점의 개수를 v, 면의 개수를 f , 모서리의 개수를 e 라 하자.

f-e+v=2

f개의 면에 차례로 번호를 붙여보자. 

예를 들면 면ABCD =a₁, 면BFGC =a₂, 면CGHD =a₃, …

그러면 다면체의 면은 a₁, a₂, a₃, a₄, … , a_f 이다.

면 a₁의 꼭지점과 변의 개수를 각각 v₁, e₁ 이라 하자.

면 a₂의 꼭지점과 변 중에서 면 a₁과 공통인 것을 제외한 개수를 각각 v₂, e₂ 라 하자.

면 a₃의 꼭지점과 변 중에서 면 a₁, a₂ 와 공통인 것을 제외한 개수를 각각 v₃, e₃ 라 하자.

⋮

그러면 그림에서 다음 관계가 성립함을 쉽게 알 수 있다.

 

v₁=e₁

v₂=e₂-1

v₃=e₃-1

：

：

v_f-1=e_f-1 -1

_{vf = ef =0}

 

이 식들을 모두 더하면

v₁+v₂+…+v_f = e₁+e₂+ … + e_f - (f-2)

이때 v₁+v₂+…+v_f = v, e₁+e₂+…+e_f = e 이므로

 

v=e-(f-2)

 

따라서 f-e+v=2