톨레미의 정리

톨레미의 정리

원에 내접하는 사각형에서 마주 보는 두 쌍의 변의 곱의 합은 두 대각선의 곱과 같다. 

∠DAC = ∠BAE 가 되도록 점 E를 대각선 BD 위에 잡으면, 호 AD에 대하여 ∠ABD = ∠ACD이므로 △ABE 와 △ACD는 닮은 삼각형이다.

AB : BE = AC : CD

따라서 ⋯⋯①

같은 방법으로, 호 AB에 대하여 ∠ACB = ∠ADB이므로 △ABC 와 △AED는 닮은 삼각형이다.

AC : BC = AD : ED

따라서 ⋯⋯②

①+② 하면

 

특히, 직사각형의 마주보는 내각의 합은 180도이므로 직사각형의 외접원을 그릴 수 있다. 따라서 아래의 그림과 같이 직사각형의 톨레미의 정리를 적용하면 피타고라스의 정리가 얻어진다. 

즉 으로부터