자취의 방정식

자취의 방정식

 

어떤 조건을 만족시키는 점들이 도형을 이룰 때, 이 도형을 주어진 조건을 만족시키는 점들의 자취라 한다.

이 때 특정한 조건을 만족시키는 자취 위의 임의의 점 P(x,y)에 대하여 x, y 사이의 조건을 x, y로 나타낸 식 f(x,y)=0을 자취의 방정식이라 한다.

 

자취의 방정식을 구한는 순서는 다음과 같이 한다.

(1) 좌표축위에 적당한 점 P(x,y)를 잡는다.

(2) 주어진 조건을 이용하여 x, y사이의 관계식을 만든다.

(3) 식을 정리하여 x, y이외의 문자는 소거하고 간단히 하여 제한된 범위를 따진다.

 

자취의 방정식은 주어진 조건을 만족하는 x와 y의 관계식이라 생각하면 된다. 관계식은 직선이 될 수도 있고 원이 될 수도 있고 또 다른 도형 이차 도형이 될 수 있다. 조건에 맞는 식을 만들어 관계식을 끌어 낼 수 만 있다면 자취의 방정식은 쉽게 세울 수 있을 것이다.

 

예) 원은 정점 C(a,b)에서 떨어진 거리가 r인 점의 자취의 방정식이다.

구하고자 하는 점을 P(x, y)로 놓는다.

C(a,b)와 P(x,y) 사이의 거리가 r이므로 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 구하면 된다.

양변을 제곱하면 이라는 원의 방정식을 구할 수 있다.