산술평균, 기하평균, 조화평균과 코시-슈바르츠의 부등식

■ 산술평균, 기하평균, 조화평균과 코시-슈바르츠의 부등식

 

서로 다른 두 양수의 평균을 구하는 세가지 방법으로 산술평균, 기하평균, 조화평균이 있으며 이들의 관계로는 산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균의 관계로 작아진다. 두 양수 a, b에 대하여 산술평균은 이고, 기하평균은 이며, 조화평균은 로 나타낸다. 여기에서 중요한 것은 산술평균과 기하평균의 관계에서 양수라는 조건이 주어졌을 때, 최댓값 과 최솟값을 구하는 문제에서 유용하게 사용된다. 코시-슈바르츠의 부등식은 산술평균과 기하평균의 관계와 더불어 절대부등식에서 유용하게 사용된다. 어렵지 않기 때문에 꼭 기억해 두고 증명방법을 이해해 두는 것이 중요하다. 특히 산술평균과 기하평균 사이의 관계를 반드시 기억하세요. (두 양수의 합이 일정할 때, 곱의 최댓값을 구하는 문제에 활용, 두 양수의 곱이 일정할 때, 합의 최솟값을 구하는 문제에 활용)

 

1. 산술평균, 기하평균, 조화평균 사이의 관계 a>0, b>0일 때, (단, 등호는 a=b일 때 성립) 2. 코시-슈바르츠의 부등식 a, b, c, x, y, z가 실수일 때, (단, 등호는 일 때 성립) (단, 등호는 일 때 성립)

 

■ 증명

1. 산술평균, 기하평균, 조화평균 사이의 관계 증명

산술평균과 기하평균사이의 관계

a>0, b>0일 때,

따라서 ⋯⋯①

기하평균과 조화평균 사이의 관계

따라서 ⋯⋯②

①, ②에서 (단, 등호는 a=b일 때 성립)

 

2. 코시-슈바르츠 부등식의 증명

따라서 (단, 등호는 , 즉 일 때 성립)

이상 산술평균, 기하평균, 조화평균 사이의 관계를 알아 보았고 코시-슈바르츠의 부등식도 알아 보았습니다. 최대, 최솟값을 구하는 문제가 갑자기 등장하면 산술평균과 기하평균 사이의 관계를 이용하여 거의 대부분의 문제가 해결됩니다.