삼수선의 정리

공간도형에서 중요한 정리중에 하나입니다. 이를 이용하여 공간도형의 여러가지 문제를 해결하는데 중요하게 사용됩니다. 삼수선의 정리가 어떻게 수직이 되는지를 잘 이해하고 기억해 두세요.

그림과 같이 평면 위에 있지 않은 한 점 P와 평면 위의 직선 , 직선 위의 한 점 H, 평면 위에 있으면서 직선 위에 있지 않은 점 O에 대하여 다음의 성질이 성립한다. 이를 삼수선의 정리라고 한다.

(1) 이면 

(2) 이면 

(3) 이면 

 

▶ 증명

(1) 이고 직선 은 평면 위의 직선이므로 이다.
이므로 와 로 결정되는 평면을 라고 하면 직선 은 평면 와 수직이다. 즉, 이다.
그런데 는 평면 위에 있으므로 이다.

(2) 이고 직선 은 평면 위의 직선이므로 이다.

이므로 와 로 결정되는 평면을 라고 하면 직선 은 평면 와 수직이다. 즉, 이다.
그런데 는 평면 위에 있으므로 이다.

 

(3) 이므로 와 로 결정되는 평면 에 대하여 이다.
따라서 평면 위에 있는 에 대하여 이다.
그런데 이므로 는 만나는 두 직선 OH와 로 결정되는 평면 와 수직이다.
즉, 이다.