쌍곡선의 매개변수와 여러가지 성질

■ 쌍곡선의 방정식 표현 및 여러 가지 성질

 

1. 쌍곡선의 매개변수 표현

두 초점 에서 거리의 차가 2a인 쌍곡선의 방정식은 (단, )이다.

이 쌍곡선의 방정식을 여러 가지 형태로 나타낼 수 있습니다. 다음과 같이 매개변수를 이용하여 쌍곡선을 표현해 볼 수 있다.

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2. 쌍곡선의 자취의 일부

두 원에 외접하는 원의 중심의 자취를 구하여 보자.

두 원 에 동시에 외접하는 원의 중심이 나타내는 도형의 방정식을 구해보자.

두 원 의 반지름의 길이를 각각 이라하고, 두 원에 동시에 외접하는 원의 중심을 P, 반지름의 길이를 x라고 하자.

이므로

으로 일정한 값을 가진다.

따라서 점 P의 집합이 나타내는 도형은 두 점 을 초점으로 하는 쌍곡선의 일부이다.

 

3. 쌍곡선의 여러 가지 성질

쌍곡선 에는 다음과 같은 성질이 성립한다.

(1) 쌍곡선 위의 임의의 점에서 두 점근선에 각각 내린 두 수선의 길이의 곱은 으로 일정하다.

(2) 임의의 접선과 두 점근선으로 만들어지는 삼각형의 넓이는 로 일정하다.

(3) 초점에서 임의의 접선에 내린 수선의 발은 원 위에 있다.

(4) 두 초점을 공유하는 타원과 쌍곡선은 서로 직교한다. 즉 교점에서 두 곡선에 대한 접선의 기울기의 곱은 –1이다.

[수학교과실/기하] - 쌍곡선의 활용(실생활 이용)