직각삼각형의 길이의 비 및 넓이의 비

■ 직각삼각형의 길이의 비 및 넓이의 비

∠A=90 〫인 직각삼각형 ABC에 대하여

선분 AB와 선분 AC의 길이가 각각 a와 b라고 하자.(a, b는 서로소)

삼각형 ABC의 꼭지점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라고 할 때 길이의 비와 넓이의 비 및 높이에 대하여 알아보자

 

1. 길이의 비

이면 이다.

▶ 증명1

삼각형 ABC와 삼각형 HBA는 닮은 삼각형이다.

또한 삼각형 ABC와 삼각형 HAC는 닮은 삼각형이다.

(△ABC∼△HBA)

(△ABC∼△HAC)

위 식에서

따라서

이다.

 

▶ 증명2

∠ABC=θ 라 하면 ∠ABH=∠CAH=θ 이다.

이므로

△HBA에서 

△HAC에서 

따라서 이다.

 

2. 넓이의 비

이면 △HBA의 넓이 : △HAC의 넓이 이다.

▶ 증명

위에서 △HBA와 △HAC에서

이면 이라고 했으므로

삼각형 HBA의 넓이는 

삼각형 HAC의 넓이는 

따라서 △HBA의 넓이 : △HAC의 넓이 이다.

 

3. 높이와 밑변의 관계

∠A=90 〫인 직각삼각형 ABC에 대하여 삼각형 ABC의 꼭지점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라고 할 때 선분 BH와 선분 HC와 높이 AH의 관계를 알아보자.

라 하면 이다.

▶ 증명

△HBA와 △HAC에서 서로 닮은 삼각형 이므로

∠ABC=θ 라 하면 ∠ABH=∠CAH=θ 이다.

따라서

△HBA에서 

△HAC에서 

이다.

위에서 설명한 직각삼각형의 길이의 비와 넓이의 비를 알고 있으면 도형과 기하의 문제를 해결하는데 시간을 단축하여 문제를 풀 수 있습니다. 성질을 잘 알고 있으면 그만큼 시간은 내것이 됩니다. 

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