사이클로이드

■ 사이클로이드 곡선

 

자전거 바퀴가 굴러감에 따라 점 P는 아래와 같은 곡선을 그리게 된다. 이와 같이 한 원이 일직선 위를 굴러갈 때, 이 원의 둘레 위의 한 점이 그리는 곡선을 사이클로이드 (cycloid) 라고 한다.

반지름의 길이가 r인 원에서 원주 위의 한 점 P가 원점 O를 출발하여 원이 각 (단, 는 라디안)만큼 회전하였을 때, 점 P의 좌표 (x, y)에 대하여 사이클로이드 곡선은 매개변수 에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

x=(호의길이)-(선분 PH의 길이) = 

y=(반지름의 길이)+(선분 CH의 길이)= 

 

직선과 사이클로이드 곡선의 미끄럼틀을 만든 후 같은 높이에서 공을 굴리면 어느 곳으로 내려오는 공이 바닥에 더 빨리 도착할까? 직선의 경로가 짧기 때문에 직선을 따라 내려오는 것이 더 빠를 것이라고 생각할 수 있다. 하지만 사이클로이드 곡선에서는 중력 가속도가 줄어드는 정도가 직선보다 더 작기 때문에 가속도에 의하여 속도가 점점 더 빨라지므로 사이클로이드 곡선을 따라 내려오는 것이 더 빠르다.

 

▶ 사이클로이드 사용되는 예

전통 가옥의 기와

물고기의 둥근비늘(원린)

독수리가 먹이를 향해 낙하할 때 사이클로이드 곡선 형태

등에서 사이클로이드 곡선 모양을 찾아볼 수 있다.

이차곡선의 매개변수 표현