이차함수의 편리한 정적분(면적)

■ 이차함수의 편리한 정적분(면적)

 

적분을 이용하여 이차함수로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정이 자주 나오는데 계산과정에서 실수하여 자주 틀리는 경우가 많다. 그래서 계산과정에서 자주 나오는 이차함수와 관련된 부분을 쉽게 정적분을 구하는 방법을 공식처럼 사용하는 방법을 알아보자. 이것을 공식처럼 활용하면 쉽게 정적분의 값을 구할 수 있다.

인수분해가 되어 있는 이차함수의 경우 전개하여 정적분의 기본정리를 이용하여 위 식처럼 계산하면 된다. 그러나 더 편리하게 공식처럼 활용하는 방법은 다음과 같다.

 

1. 이차함수와 x축으로 둘러싸인 부분의 정적분(넓이)

이차함수 와 x축과 만나는 점을 라고 하면 x축으로 둘러싸인 부분의 정적분을 구해보면

▶ 증명

 

와 x축과의 교점은 의 두근 (아래끝), (위끝)로 되어있는 특수한 꼴로서 포물선 와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 때 나타나는 모양이다. 따라서 이 공식으로 기억해 두고 활용하면 편리하다.

특히, 면적은 이다.

 

2. 이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 정적분(넓이)

이차함수 와 직선 으로 둘러싸인 부분의 정적분을 구해보자.

의 해

의 해

면적은 이다.

 

3. 두 이차함수로 둘러싸인 부분의 정적분(넓이)

이차함수 와 직선 으로 둘러싸인 부분의 정적분을 구해보자.

의 해

의 해

면적은 이다.

 

이상 정리하면 이차함수와 x축으로 둘러싸인 부분의 정적분, 이차함수와 직선으로 둘러싸인 부분의 정적분, 두 이차함수로 둘러싸인 부분의 정적분은 해를 구한다음 정적분 해 주면 된다.

적분법 마인드맵