적분이란 무엇인가?

■ 적분이란 무엇인가?

 

순간과 전체를 보는 수학적 도구

 

곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이나 물체의 부피를 구하는 방법은 고대부터 연구하여 개발되어 왔는데 이때 적분법이 이용된다.

적분은 우주로 쏘아 올린 로켓의 이동 거리나 궤도를 제어하고, 다리나 댐을 건설하거나 지진에 견딜 수 있는 건물을 설계하는 데 중요한 역할을 하는 도구이며, 이 밖에도 의학이나 경제학등 다양한 분야에서 폭넓게 사용되고 있다.

 

넓이와 부피, 속도와 위치를 알아내는 수학적 도구

도로, 다리, 댐등의 건축 구조물을 만들 영역의 넓이나 구조물의 부피를 구할 때 적분이 이용된다. 또 비행기를 공중에 뜰 수 있게 하려면 공기의 흐름을 분석하여 공기가 만들어 내는 힘을 계산해야 하는데 공기가 흐르는 공간을 작은 영역으로 나누어 속도의 변화량에 대한 방정식을 만들고, 이 방정식을 적분함으로써 공기의 압력과 속도를 계산할 수 있다. 적분은 건축학, 항공학등 다양한 분야에서 활용된다.

 

넓이나 부피를 구할 때 극한 개념을 도입한 것은 16세기에 이르러서이다. 케플러(Kepler, J., 1571~1630)는 넓이나 부피가 한없이 작은 부분이 무수히 많이 모여서 된 것으로 생각하여 원을 삼각형으로 분할하고 삼각형의 넓이의 합의 극한으로 원의 넓이를 계산하였다.

또 카발리에리(Cavalieri, F. B.,1598~1647)는 케플러의 발상을 발전시켜 넓이를 폭이 없는 선의 모임, 입체를 두께가 없는 평행한 면의 모임으로 생각하였으며, 단면의 넓이를 비교하여 부피를 계산하였다. 이러한 방법을 ‘불가분량법(method of indivisibles)’이라고 하는데, 그 당시 도형의 넓이나 부피를 구하는 데 널리 이용되었다.

[불가분량법]

1. 두 평면도형이 두 평행한 직선 사이에 놓여 있을 때, 이 직선에 평행한 직선으로 잘린 선분의 길이가 항상 같으면 두 평면도형의 넓이는 같다.

2. 두 공간도형이 두 평행한 평면 사이에 놓여 있을 때, 이 평면에 평행한 평면으로 잘린 평면도형의 넓이가 항상 같으면 두 공간도형의 부피는 같다.

 

라이프니츠는 독립적으로 발전해 온 미분과 적분이 역연산의 관계임을 알고 넓이와 부피를 구하는 간편한 알고리즘을 발명하였다. 라이프니츠는 1673년과 1676년 사이에 미적분에 대한 개념을 정립하면서 ‘미적분의 기본 정리(Fundamental theorm of Calculus)’를 발견하였고, 미적분에 대한 수많은 정리들을 증명하였다.

미적분의 기본 정리는 함수의 적분으로 표현된 함수를 미분하면 원래 함수를 얻는다는 것으로 미분과 적분이 역연산의 관계임을 알려주는 정리이다.

[미적분의 기본정리 1]

함수 가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때, 함수 를

라고 하면 는 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분가능하며 이다.

 

[미적분의 기본정리 2]

함수 가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때, 함수 를 한 부정적분을 라고 하면

이다.

 

또 라이프니츠는 1675년에 합을 의미하는 라틴어 summa의 첫문자 S를 길게 늘인 적분 기호 를 처음으로 사용하였고, 이후 코시(Cauchy, A. L., 1789~1857)가 적분을 극한으로 정의하면서 적분 개념의 수학적 기초가 마련되었다.

이차함수의 편리한 정적분(면적) 적분법 마인드맵 미분이란 무엇인가?