삼각함수의 덧셈정리 다양한 증명

■ 삼각함수의 덧셈정리

 

1. 삼각함수의 덧셈정리 증명1 (코사인법칙)

두 각 를 사용하여 의 삼각함수를 나타내는 방법을 알아보자.

그림과 같이 좌표평면에서 두 각 를 나타내는 동경과 단위원의 교점을 각각 P, Q라고 하면

, 

이다. 이때 두 점 사이의 거리를 구하는 공식에 의하여

이고, 삼각형 POQ에서 코사인법칙에 의하여

이다.

따라서

                                     ……①

 

<-- * ①이 유도되면 아래부터는 증명방법 동일-->

 

①에 대신 를 대입하면

……②

한편 이므로

                              
                              ……③

③에 대신 를 대입하여 정리하면

……④

한편 ②, ③으로부터

……⑤

⑤에 대신 를 대입하여 정리하면

된다.

 

2. 삼각함수의 덧셈정리 증명2 (회전이동)

[그림1]과 같이 두 각 를 이루는 동경이 중심이 O인 단위원과 만나는 점을 각각 A, B라 하면 , 이다.

원점 O를 중심으로 △OAB를 만큼 회전하면 [그림2]에서 , D(1,0)이다.

이므로

이다.                             

 

3. 삼각함수의 덧셈정리 증명3 (벡터의 내적)

그림과 같이 원점을 중심으로 하는 단위원 위의 두 점 A, B에 대하여 벡터 가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 라고 하면 , 이다.

따라서 두 벡터의 내적의 정의를 이용하면

내적의 성질을 이용하면

따라서 이다.

 

4. 삼각함수의 덧셈정리 증명4 (코사인법칙과 사인법칙이용)

그림과 같이 삼각형 ABC에서 변의 길이를 각각 a, b, c라 하고 각을 라고 하면

제일 코사인법칙에 의하여

                                 …… ①

또한 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 사인법칙에 의하여

, , …… ②

②를 ①에 대입하면

정리하면

               …… ③

한편 이므로

         …… ④

따라서 ③, ④에서

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