함수의 극대와 극소

■ 함수의 극대와 극소

▶ 극대(극댓값)

함수  에서 x=a를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 x에 대하여

일 때, 함수  는 x=a에서 극대라 하고,  를 극댓값이라고 한다.

함수  가 x=a에서 연속이고 x=a의 좌우에서  가 증가상태에서 감소상태로 변하면  는 x=a에서 극대가 된다고 하고, 그때의 함숫값  를 극댓값이라고 한다.

▶ 극소(극솟값)

함수  에서 x=a를 포함하는 어떤 열린구간에서 속하는 모든 x에 대하여

일 때, 함수  는 x=a 에서 극소라 하고, 를 극솟값이라고 한다.

함수  가 x=a에서 연속이고 x=a의 좌우에서  가 감소상태에서 증가상태로 변하면  는 x=a에서 극소가 된다고 하고, 그때의 함숫값  를 극솟값이라고 한다.

 

극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 한다.

* 극댓값이 극솟값보다 항상 큰 것은 아니다.

 

▶ 극값의 판정

함수  가 x=a에서 극값을 갖고 a를 포함하는 어떤 열린구간에서 미분가능하면

 

역은 성립하지 않는다.

예)  에 대하여  이지만 함수  는 x=0에서 극값을 갖지 않는다.

 

▶ 미분가능한 함수의 극대와 극소를 도함수의 부호를 조사하여 판정

미분가능한 함수  에 대하여  이고 x=a의 좌우에서  의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 는 x=a의 좌우에서 증가하다가 감소하므로 는 x=a에서 극대이다.

미분가능한 함수  에 대하여  이고 x=a의 좌우에서  의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 는 x=a의 좌우에서 감소하다가 증가하므로 는 x=a에서 극소이다.

 

▶ 함수의 극대와 극소의 판정(1)

미분가능한 함수  에서  이고 x=a의 좌우에서

(1)  의 부호가 양(＋)에서 음(－)으로 바뀌면  는 x=a에서 극대이고, 극댓값은  이다.

(2)  의 부호가 음(－)에서 양(＋)으로 바뀌면  는 x=a에서 극소이고, 극솟값은  이다.

 

▶함수의 극대와 극소의 판정(2)

미분가능한 함수  가 이계도함수를 갖고  일 때,

(1)  이면  는 x=a에서 극대이고 극댓값  를 갖는다.

(2)  이면  는 x=a에서 극소이고 극솟값  를 갖는다.

미분이란 무엇인가? 연속과 미분가능성의 관계 적분이란 무엇인가? 미분법 마인드맵