미분이란 무엇인가?

■ 미분이란 무엇인가?

 

미분이란 순간의 변화를 예측하는 수학적 도구입니다.

 

우리 주변의 모든 것들은 매 순간 변하고 있습니다. 예를 들어 산을 오를 때 기온은 해발 고도에 따라 달라지고, 달리는 자동차는 순간순간 위치가 달라지며, 제품의 가격은 수요와 공급에 따라 달라집니다. 이러한 순간의 변화를 관찰하면 움직이는 물체의 속도를 구할 수 있고, 기업에서는 최적의 생산량을 정할 수도 있으며, 연료 효율이 높은 자동차를 설계할 수도 있습니다. 이러한 변화를 세밀하게 관찰하는 데에는 미분이 중요한 역할을 합니다.

 

미분은 운동과 변화를 설명하는 수학의 한 분야입니다.

힘이 작용하는 속도와 가속도가 생기는 물체의 움직임, 화학 물질의 반응, 개체 수의 변화 등과 같은 다양한 변화를 예측하고 설명하는 데에 응용되는 수학이 바로 미분이다. 또 대기의 흐름을 분석하여 날씨를 예측하거나 신경 세포들 사이의 미세한 자극의 교환을 이해하는 데도 미분이 이용됩니다.

미분은 17세기에 체계화 되었으며 자연 과학의 중요한 토대가 되었고, 과학 발전의 원동력이 되었습니다.

 

미분이란

평균변화율은 함수에서 두 점 사이의 기울기를 의미합니다. 이것을 기반으로 두 점 중 한점을 움직여 다른 점에 한없이 가까이 가게 하면 그 점(고정된 점)에서 순간변화율이 됩니다. 이 순간변화율이 고정된 점에서 미분 값이 됩니다.

기호로 나타내면

 

미분을 이용하면 움직이는 물체의 속도와 가속도를 구할 수 있을 뿐만 아니라 이차함수, 삼차함수 등 여러 가지 함수의 그래프를 그리고, 방정식과 부등식에 활용할 수 있습니다. 또한 삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분을 이용하면 다항함수가 아닌 함수들을 다항함수로 근사시킬 수 도 있습니다.

예로서 18세기에 푸리에에 의하여 임의의 연속함수는 삼각함수의 급수의 합으로 표현할 수 있다고 밝혀져 있습니다.

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