두 사건이 독립일 때 여집합의 독립관계

■ 두 사건이 독립일 때 여집합의 독립

 

두 사건 A, B가 서로 독립일 때

즉, P(A∩B)=P(A)P(B) 일 때

A와 / 와 B / 와 의 관계를 알아보자.

 

1. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 A와 도 서로 독립

P(A∩ )=P(A-B) (∵A∩ =A-B)

              =P(A) -P(A∩B)

              =P(A)-P(A)P(B) (∵P(A∩B)=P(A)P(B))

              =P(A){1-P(B)}

              =P(A)P( )

즉, P(A∩ )=P(A)P( )이므로 두 사건 A와 도 서로 독립이다.

 

2. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 와 B도 서로 독립

P( ∩B)=P(B-A)

              =P(B) -P(A∩B)

              =P(B)-P(A)P(B)

              =P(B){1-P(A)}

              =P( )P(B)

즉, P( ∩B)=P( )P(B)이므로 두 사건 와 B도 서로 독립이다.

 

3. 두 사건 A, B가 서로 독립이면 와 도 서로 독립

P( ∩ )=P( ) (∵ ∩ = )

              =1-P(A∪B)

              =1-{P(A)+P(B)-P(A∩B)}

              =1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)

              =1-P(A)-P(B){1-P(A)}

              ={1-P(A)}{1-P(B)}

              =P( )P( )

즉, P( ∩ )=P( )P( )이므로 두 사건 와 도 서로 독립이다.

 

따라서 두 사건 A, B가 서로 독립이면

⇨ A와 / 와 B / 와 도 각각 서로 독립이다.

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