삼각함수의 합성

■ 삼각함수의 합성

 

삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 ( )를

( ) 또는 ( )

꼴의 삼각함수로 나타내어 보자.

 

1. 사인함수로 합성할 때는 사인함수의 덧셈정리를 사용해야 하므로 곱해지는 삼각함수를 다르게 만들면 된다.

그림과 같이 좌표평면 위의 점 P(a,b)를 잡고, 동경 OP가 x축의 양의 방향과 이루는 각을 라 하면

, 

이므로

 

2. 코사인함수로 합성할 때는 코사인함수의 덧셈정리를 사용해야 하므로 곱해지는 삼각함수를 같게 만들면 된다.

, 

이므로

 

이와 같이 를 ( ) 또는 ( )와 같은 꼴로 나타내는 것을 삼각함수의 합성이라고 한다.

 

삼각함수의 합성

(1) 사인합성

(2) 코사인합성

 

( )

사인합성과 코사인합성은 형태는 다르지만 같은 값을 나타낸다.

 

삼각함수의 합성은 사인함수와 코사인함수의 합으로 표시되어 있는 것을 하나의 삼각함수로 통일할 수 있다. 따라서 삼각함수의 합성을 이용하여 삼각함수의 최대, 최소 또는 함수의 그래프를 그리거나 삼각방정식의 해를 구하는 데 유용하게 사용할 수 있습니다.

 

예) 를 의 꼴로 나타내보자.

그림과 같이 점 P(1,1)을 잡으면

, 이므로 

∴ 

 

삼각함수의 합성을 이용하여 삼각함수 의 주기와 최댓값, 최솟값을 구하여 보자.

이므로 주기는 이다.

또한 이므로

따라서 a, b가 동시에 0이 아니면

의 최댓값은 이고, 최솟값은 이다.

 

예) 의 주기와 최댓값, 최솟값을 구하여 보자.

따라서 최댓값은 2, 최솟값은 –2, 주기는 이다.

삼각함수의 덧셈정리 다양한 증명 삼각함수의 배각 및 반각 공식 (단위원으로 증명) 삼각함수의 주기와 최대, 최소값, 삼각방정식과 부등식 삼각함수의 그래프(sin, cos, tan)와 그 성질 삼각함수 마인드맵 삼각함수로 치환하는 치환적분법(삼각치환법)