속도와 거리

■ 속도와 거리

1. 직선 위에서 점이 움직인 거리

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 속도가 v(t), 시각 t=a에서의 위치가  이라 할 때,

(1) 시각 t에서의 점 P의 위치 x는

(2) 시각 t=a에서 t=b까지 점 P의 위치의 변화량은

(3) 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s는

 

2. 평면 위에서 점이 움직인 거리

좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가 x=f(t), y=g(t)일 때, 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s는

 

▷ 설명

좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치 (x, y)가

x=f(t), y=g(t)

일 때, 시각 t에서의 점 P의 속도는

이고, 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s를 구해 보자.

시각 t에서 점P(x,y)에 있던 점 P가 시각  에서 점  로 움직였다고 하면 움직인 거리 s의 증분  는

 이고

 이므로

 가 충분히 작을 때 는  에 가까워지므로

따라서 s(t)는  의 한 부정적분이므로 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리 s는

 

3. 곡선의 길이

(1) 곡선  의 겹치는 부분이 없을 때 길이  은

(2) 곡선  의 길이  은

 

▷ 설명

곡선   는 점P의 시각 t에서의 위치가 (x, y)일 때

  인 곡선으로 볼 수 있다.

따라서 x=a에서 x=b까지의 곡선  의 길이  은 시각 t=a에서 t=b까지 점 P가 움직인 거리와 같으므로

x=a에서 x=b까지의 곡선  의 길이  은

속도와 가속도