항등식과 미정계수법

■ 항등식과 미정계수법

1. 등식 : 등호가 있는 식

(1) 방정식 : 특정한 수일 때만 등호가 성립하는 식 (특정한 수 = 근)

(2) 항등식 : 항상 등호가 성립하는 식 – 문자에 어떤값을 대입해도 항상 성립하는 등식을 그 문자에 대한 항등식이라 한다. (좌변과 우변이 같은 식)

 

2. 항등식의 성질

(1)  이 x에 대한 항등식 ⇔ a=0, b=0

    이 x에 대한 항등식 ⇔  

(2)  이 x에 대한 항등식 ⇔ a=0, b=0, c=0

    이 x에 대한 항등식 ⇔  

(3)  이 x, y에 대한 항등식 ⇔ a=0, b=0, c=0

    이 x, y에 대한 항등식 ⇔  

 

3. 미정계수법

항등식의 뜻과 성질을 이용하여 미지의 계수를 정하는 방법

미정계수법에는 등식의 양변의 동류항의 계수를 비교하여 계수를 정하는 방법과 등식의 문자에 적당한 수를 대입하여 계수를 정하는 방법이 있다.

(1) 계수비교법 : 항등식의 양변의 차수가 같은 항의 계수끼리 비교하는 방법

⇨ 항등식은 좌변과 우변이 같은 식

(2) 수치대입법 : 항등식의 문자에 적당한 수를 대입하여 계수를 구하는 방법

⇨ 항등식은 양변에 어떤 수를 대입해도 등호가 성립

※ 전개가 복잡한 식은 수치대입법을 이용하는 것이 유용하다.

※ 항등식임을 나타내는 여러 가지 표현

x에 대한 항등식이다.

⇔ x가 어떤 값을 갖더라도 성립한다.

⇔ x의 값에 관계없이 항상 성립한다.

⇔ 모든 x에 대하여 성립한다.

⇔ 임의의 x에 대하여 성립한다. 

4. 다항식의 나눗셈식도 항등식이다.

 ⇨ A=BQ+R

A ÷ B = 몫 : Q, 나머지 : R

 

다항식 A를 다항식 로 나누었을 때의 몫을 Q, 나머지를 R라고 하면

A=BQ+R (단, (R의 차수)< (B의 차수))

 

(1) A는 B로 나누어떨어진다 ⇔ R=0

(2) A=BQ+R은 x에 대한 항등식이다. 

곱셈공식  다항식의 곱셈과 나눗셈