나머지정리와 인수정리

■ 나머지정리와 인수정리

1. 나머지정리

(1) 다항식  를 일차식  로 나누었을 때의 나머지를 R라고 하면
⇨ 

(2) 다항식  를 일차식  로 나누었을 때의 나머지는 R라고 하면

⇨ 

▷ 증명

(1) 다항식  를 일차식  로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라고 하면 나눗셈식에 의해

이 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변에  를 대입하면 

(2) 다항식  를 일차식  로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라고 하면

위의 식은 x에 대한 항등식이므로  를 대입하면

 

2. 인수정리

인수정리는 나머지정리에서 나머지가 0이 되는 경우 즉 나누어 떨어지는 경우를 말한다.

다항식  에 대하여

(1)  는 일차식  로 나누어떨어진다.

⇔  는 일차식  로 나누었을 때 나머지가 0이다.

⇔ 

⇔  는  를 인수로 갖는다.

⇔   로 인수분해 된다.

 

(2)  는 일차식  로 나누어떨어진다.

⇔  는 일차식  로 나누었을 때 나머지가 0이다.

⇔ 

⇔  는  를 인수로 갖는다.

⇔  로 인수분해 된다.

항등식과 미정계수법 다항식의 곱셈과 나눗셈