복소수

■ 복소수

1. 복소수

(1) 제곱하여 -1이 되는 수 를 허수단위라 하고, 실수 a, b에 대하여 꼴로 나타내어지는 수를 복소수라 한다. (단, ) 

(2) 에서 a를 실수부분, b를 허수부분이라 한다.

(3) 실수가 아닌 복소수 를 허수라 하고, 실수부분이 0인 수, 즉 꼴의 허수를 순허수라 한다.

2. 복소수의 상등

a, b, c, d 가 실수일 때

(1) 

(2) 

 

3. 켤레복소수

복소수 에 대하여 를 z의 켤레복소수라고 한다.

 

4. 켤레복소수의 성질

두 복소수 에 대하여

(1) 

(2) , 

(3) 

(4) 

(5) : 실수 ⇨ 복소수와 그 켤레복소수의 합과 곱은 항상 실수

(6)  ⇔ 이 실수

(7) 이 순허수 ⇔ 

 

4. 복소수의 사칙연산 (복수수의 연산도 실수와 마찬가지로 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립함)

a, b, c, d 가 실수일 때

(1) 

(2) 

(3) 

(4) ⇨ 분모에 가 있으면 분모의 켤레복소수를 분모, 분자에 곱한다.

 

6. 음의 실수의 제곱근

a, b가 실수일 때, 다음이 성립한다.

(1) a>0 일 때, 

(2) -a의 제곱근은 와 이다.

(3) a<0, b<0일 때, ⇦ 모두 음수일 때

a<0, b<0 일 때를 제외하면, 

(4) a>0, b<0 일 때, ⇦ 분모만 음수일 때

a>0, b<0 일 때를 제외하면, 

예) 

 

7. 의 거듭제곱

(1) 

(2) 의 거듭제곱은 네 개의 수가 반복된다.

(3) (단, n은 자연수)

방정식의 근(이차방정식, 삼차방정식, 사차방정식)