삼차방정식 한 허근의 성질

■ 삼차방정식 한 허근의 성질

삼차방정식 의 한 허근을 라 할 때 의 성질을 알아보자.

방정식 을 인수분해하면

이다.

이때, x=1인 실근 하나와

에서

두 허근은 을 갖는다.

이 허근중 하나를 라 하고 이를 이용하여 여러 가지 성질을 만들어진다. ( 는 의 켤레복소수이므로 이차방정식의 근이 된다.)

를 방정식에 대입하거나 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면 성질을 알 수 있다.

 

1. 의 허근의 성질 (단, 는 의 켤레복소수)

삼차방정식 의 한 허근을 라 하면 ( 실제 의 한 근이 임)

(1)            ( , 는 삼차방정식 의 근)

(2)              ( 는 이차방정식 의 근)

(3)             ( 는 이차방정식 의 근)

(4)     ( 이차방정식 의 근과 계수의 관계)

(5)                   ( 의 변형)

(6) (n은 자연수)    ( )

 

2. 의 허근의 성질 (단, 는 의 켤레복소수)

삼차방정식 의 한 허근을 라 하면 ( 실제 의 한 근이 임)

(1)      ( , 는 삼차방정식 의 근)

(2)              ( 는 이차방정식 의 근)

(3)             ( 는 이차방정식 의 근)

(4)     ( 이차방정식 의 근과 계수의 관계)

(5)             ( 의 변형)

(6)     ( )

 

※ 와 을 이용하여 생각하면 복잡한 식을 간단히 하여 해결할 수 있다.

이차방정식의 판별식과 근과 계수의 관계 삼차방정식의 근과 계수와의 관계