지수의 확장

■ 지수의 확장

 

1. 지수가 0 또는 음의 정수인 경우

이고 n이 양의 정수일 때,

➡ 어떤 수를 0제곱하면 무조건 1이다.

➡ 지수의 마이너스는 역수이다.

 

▷ 정수로 확장 설명

이고 m, n이 양의 정수일 때, 지수법칙

            …… ①

이 성립한다.

그런데 m=0일 때도 ①이 성립한다고 하면

          

이므로 이어야 한다.

또 m=-n일 때도 ①이 성립한다고 하면

          

이므로 이어야 한다.

 

2. 지수가 유리수인 경우

a>0이고 이 정수일 때,

 ➡ 분수 지수는 거듭제곱근이다.

 

▷유리수로 확장 설명

a>0이고 p, q가 정수일 때, 지수법칙

            …… ①

이 성립한다.

그런데 p, q가 유리수일 때도 ①이 성립한다고 하면 두 정수 에 대하여

          

이므로 은 의 양의 n제곱근이다. 즉

          

이다.

 

3. 지수가 실수일 때의 지수법칙

a>0, b>0이고 m, n이 실수일 때

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

(5) 

※ 에서 n의 값의 범위에 따라 지수법칙이 성립하는 a의 값의 범위를 정리하면 다음과 같다.

거듭제곱과 거듭제곱근 다항식의 곱셈과 나눗셈