등차수열

■ 등차수열

 

1. 수열

차례대로 나열된 수의 열을 수열이라 하고, 수열을 이루고 있는 각 수를 그 수열의 항이라고 한다.

이때 각 항을 앞에서부터 차례대로 첫째항, 둘째항, 셋째항, …, n째항,  … 또는 제1항, 제2항, 제3항, …, 제n항,  … 이라고 한다.

 

일반적으로 수열을 나타낼 때에는 다음과 같이 나타낸다.

            

이때 제n항 을 그 수열의 일반항이라 하고, 일반항이 인 수열을 간단히 과 같이 나타낸다.

 

수열 은 자연수 1, 2, 3, …, n, …에 수열의 각 항 을 차례대로 대응시킨 것이므로 수열은 자연수 전체의 집합 N에서 실수 전체의 집합 R로의 함수

              , 

으로 생각할 수 있다.

이때 일반항 이 n에 대한 식으로 주어지면 n에 1, 2, 3, …을 차례대로 대입하여 수열 의 모든 항을 구할 수 있다.

 

 

2. 등차수열

첫째항부터 차례대로 일정한 수를 더하여 만든 수열을 등차수열이라 하고, 더하는 일정한 수를 공차라고 한다.

 

(1) 등차수열의 관계식

수열 이 첫째항이 a이고 공차가 d인 등차수열일 때

제n항에 공차 d를 더하면 제(n+1)항이 되므로

 (n=1, 2, 3, …)

 

(2) 등차수열의 일반항

첫째항이 a이고 공차가 d인 등차수열의 일반항 은

(n=1, 2, 3, …)

 

(3) 등차중항

세 수 a, b, c가 이순서로 등차수열을 이울 때, b를 a, c의 등차중항이라 한다.

 

(4) 등차수열의 합

등차수열의 첫째항부터 제n항까지의 합 은

➀ 첫째항이 a, 제n항이 일 때,

➁ 첫째항이 a, 공차가 d일 때,

 

(5) 수열의 합과 일반항 사이의 관계

수열 의 첫째항부터 제n항까지의 합을 이하 하면

(단, n≥2)

 

수열의 귀납적 정의(점화식)