함수의 연속

■ 함수의 연속

1. 함수의 연속과 불연속

(1) 함수 f(x)가 실수 a에 대하여 다음 세가지 조건을 모두 만족시킬 때,

f(x)는 x=a에서 연속이라고 한다.

 

(ⅰ) 의 값이 존재 (함수값이 존재)

(ⅱ) 의 값이 존재 (극한값이 존재)

➡ 극한값이 존재 ⇔ 좌극한과 우극한값이 같다.

➡ 

(ⅲ) (함수값과 극한값이 같다.)

(2) 함수 f(x)가 x=a에서 연속이 아닐 때(위 세가지 조건 중 한 가지라도 만족하지 않을 때), f(x)는 x=a에서 불연속이라고 한다.

 

2. 연속과 불연속을 판단하는 방법

(1) 그래프를 그려서 연속 불연속을 알아본다.

(2) 연속 조건을 이용한다.

f(x)가 x=a에서 연속

⇔ (i) 의 값이 존재 (함수값이 존재)

   (ii) 의 값이 존재 (극한값이 존재)

   (iii) (극한값=함수값) ← 제일 중요함.

연속관련 문제는 연속 조건을 잘 활용하여 문제를 해결한다.

 

연속과 미분가능성의 관계