연속함수

■ 연속함수

한 점 x=a에서 연속인 것을 구간에서 연속인 것으로 확장한다.

 

1. 구간

(1) 두 실수 a, b(a<b)에 대하여

[a, b]를 닫힌구간, (a, b)를 열린구간이라고 하며 [a, b)와 (a, b]를 반닫힌 구간 또는 반열린 구간이라고 한다.

➡ [a, b]

➡ (a, b)

➡ [a, b]

➡ (a, b)

(2) 다음과 같이 정의된 집합 , , , 도 모두 구간이라 한다.

➡ 

➡ 

➡ 

➡ 

(3) 실수 전체의 집합도 하나의 구간으로 보고, 기호로 와 같이 나타낸다.

 

2. 연속함수

함수 f(x)가 어떤 구간에 속하는 모든 실수에서 연속일 때, f(x)는 그 구간에서 연속 또는 그 구간에서 연속함수라고 한다.

 

특히 함수 f(x)가 다음 조건을 모두 만족시킬 때, f(x)는 닫힌구간 [a, b]에서 연속이라고 한다.

(ⅰ) 열린구간 (a, b)에서 연속이다.

(ⅱ) , 

 

3. 연속함수의 성질

(1) 두 함수 f(x), g(x)가 x=a에서 연속이면 다음 함수도 x=a에서 연속이다.

➀ cf(x) (단, c는 상수)

➁ f(x)+g(x), f(x)-g(x)

③ f(x)g(x)

④ (단, )

 

(2) 연속함수의 합성

함수 f(x)가 x=a에서 연속이고 함수 g(x)가 x=f(a)에서 연속이면 합성함수 g( f(x))도 x=a에서 연속이다.

 

함수의 연속 연속과 미분가능성의 관계