연속과 미분가능성의 관계

■ 연속과 미분가능성의 관계

 

▶ x=a에서 연속

 

함수 가 실수 a에 대하여

(ⅰ) x=a에서 함숫값 가 정의되어 있고

(ⅱ) 극한값 가 존재하며

(ⅲ) 

일 때, 함수 는 x=a 에서 연속이라고 한다.

 

또, 함수 가 x=a에서 연속이 아닐 때, x=a에서 불연속이라고 한다.

함수 가 위의 세 가지 조건 중 어느 하나라도 만족하지 않으면 x=a에서 불연속이다.

 

▶ x=a에서 미분가능

 

함수 가 x=a에서 미분가능하면

가 존재하므로

∴ 

따라서 함수 는 x=a에서 연속이다.

 

함수 가 x=a에서 미분가능하면 이 함수는 x=a에서 연속이다.

그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

 

▶ 연속이지만 미분 불가능한 함수의 예

함수 는 x=0에서 연속이지만 미분가능하지는 않다.

함수 는 x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않다.

 

그래프로 생각하면 연속이란 이어진 것이며 불연속이란 끊어진 것을 말한다.

미분가능이란 그래프에서 부드럽게 이어져 있으면 가능하고 그 점에서 접선의 기울기를 말할 수 있다는 것이다.

미분불가능이란 그래프가 끊어져 있거나 뾰족한 것이 있으면 미분가능하지 않다.

뾰족한 점은 이어져 있어서 연속이지만 접선을 정할 수 없기 때문에 미분 불가능하다고 한다.

적분이란 무엇인가? 미분이란 무엇인가?