평균값의 정리(롤의정리)

■ 평균값의 정리

 

1. 롤의 정리

함수 f(x)가 (1) 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 (2) 열린구간 (a, b)에서 미분가능할 때, (3) f(a)=f(b)이면              인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재한다.

 

▷ 증명

롤의 정리를 증명해 보자.

➀ 함수 f(x) 가 상수함수일 때

열린구간 (a, b)에 속하는 모든 c에 대하여 이다.

 

➁ 함수 f(x)가 상수함수가 아닐 때

함수 f(x)는 닫힌구간 [a, b]에서 연속이므로 최댓값과 최솟값을 갖는다.

그런데 f(a)=f(b)이므로 함수 f(x)는 x=c (a<c<b)에서 최댓값 또는 최솟값을 갖는다.

함수 f(x)가 x=c에서 최댓값을 가질 때,

a<c+h<b를 만족시키는 임의의 h에 대하여

이므로

h>0이면 ,

h<0이면 

그런데 함수 f(x)는 x=c에서 미분가능하므로 좌극한값과 우극한값이 같다.

따라서

같은 방법으로 함수 f(x)가 x=c에서 최솟값을 가질 때도 임을 보일 수 있다.

 

2. 평균값의 정리

함수 f(x)가 (1) 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 (2) 열린구간 (a, b)에서 미분가능할 때, 인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 존재한다.

 

※ 평균값 정리의 의미는 두 점을 이은 직선의 기울기와 같은 접선이 적어도 한 개는 존재한다.

 

▷ 증명

롤의 정리를 이용하여 평균값 정리를 증명해 보자.

함수 y=f(x)의 그래프 위의 두 점 A(a, f(a)), B(b, f(b))를 지나는 직선의 방정식은

이때

라고 하면

함수 g(x)는 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 열린구간 (a, b)에서 미분가능하며

g(a)=g(b)=0

따라서 롤의 정리에 의하여 인 c가 a와 b사이에 적어도 하나 존재한다.

이때 이므로

따라서 

그러므로 c가 a와 b사이에 적어도 하나 존재한다.

 

최대 최소의 정리 및 사이값 정리