함수의 극대와 극소(수학2)

■ 함수의 극대와 극소

 

1. 함수의 극대와 극소

함수 f(x)가 x=a를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 x에 대하여 ⑴ f(a)> f(x)일 때, 함수 f(x)는 x=a에서 극대라 하며 이때의 함숫값 f(a)를 극댓값이라 한다. ⑵ f(a)< f(x)일 때, 함수 f(x)는 x=a에서 극소라 하며 이때의 함숫값 f(a)를 극솟값이라 한다. ⑶ 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라 한다.

 

2. 극값과 미분계수

함수 f(x)가 x=a에서 극값을 갖고 a를 포함하는 어떤 열린구간에서 미분가능하면

 

※ 이 성질의 역은 성립하지 않는다.

즉, 이라고 해서 반드시 x=a에서 극값을 갖는 것은 아니다.

예를 들어 일 때, 이므로 이다.

그러나 그림에서 보듯이 x=0에서 극대도 극소도 아니다.

 

3. 에 의한 극대, 극소의 판정

미분가능한 함수 f(x)에서 이고, x=a의 좌우에서 ⑴ 의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극대이다. ⑵ 의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 f(x)는 x=a에서 극소이다.

 

함수의 극대와 극소