함수의 증가와 감소

■ 함수의 증가와 감소

 

1. 함수의 증가와 감소

함수 f(x)가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 수 에 대하여

(1) 일 때 이면 함수 f(x)는 이 구간에서 증가한다고 한다.

(2) 일 때 이면 함수 f(x)는 이 구간에서 감소한다고 한다.

 

2. 함수의 증가와 감소의 판정

함수 f(x)가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간의 모든 x에 대하여 (1) 이면 f(x)는 이 구간에서 증가한다. (2) 이면 f(x)는 이 구간에서 감소한다.

▷ 증명

함수 f(x)가 구간 (a, b)에서 미분가능하고 이 구간의 모든 x에 대하여 이라고 하자.

구간 (a, b)에 속하는 임의의 두 수 에 대하여 일 때, 닫힌구간 에서 평균값 정리에 의하여

인 c가 과 사이에 적어도 하나 존재한다.

이때 임의의 x에 대하여 이므로

이고 이므로 이다.

즉

일 때 

이므로 함수 f(x)는 구간 (a, b)에서 증가한다.

같은 방법으로 생각하면 이면 f(x)가 감소한다는 것도 보일 수 있다.

 

※ (1)의 역은 성립하지 않는다.

즉, f(x)가 증가하면 이다가 성립하지 않는다.

예를 들면 일 때 f(x)는 증가하지만 이므로 성립하지 않는다.

따라서 f(x)가 증가하면 이다.

 

3. 함수가 증가 또는 감소할 조건

함수 f(x)가 어떤 구간에서 미분가능하고, 이 구간에서 ⑴ f(x)가 증가하면 이 구간에서  ⑵ f(x)가 감소하면 이 구간에서

평균값의 정리(롤의정리)