도함수

■ 도함수

 

1. 도함수

(1) 도함수

함수 y=f(x)가 정의역에 속하는 모든 x에서 미분가능할 때, 정의역의 각 원소 x에 미분계수 를 대응시키는 함수

를 도함수라 하고, 이것을 기호로 다음과 같이 나타낸다.

 

(2) 미분법

함수 y=f(x)에서 그 도함수 를 구하는 것을 함수 y=f(x)를 x에 대하여 미분한다고 하고, 그 계산법을 미분법이라 한다.

 

2. 미분법의 기본공식

(1) 함수 (n은 양의 정수)과 상수함수의 도함수

➀ (n은 양의 정수)이면

➡ 

➁ y=c (c는 상수)이면

➡ 

 

(2) 함수의 실수배, 합, 차의 미분법

두 함수 f(x), g(x)가 미분가능할 때

➀ (단, c는 상수)

➡ 

➁ 

➡ 

③ 

➡ 

 

(3) 함수의 곱의 미분법

두 함수 f(x), g(x)가 미분가능할 때,

➡ 

 

(4) 합성함수의 미분법

함수 f(x)가 미분가능할 때

(n은 자연수)

➡ 

 

▷ 증명

(1) 함수 (n은 양의 정수)과 상수함수의 도함수

➀ 함수 에서 이라고 하면

 

 

➁ 상수함수 y=c (c는 상수)에서 f(x)=c라고 하면

 

(2) 함수의 실수배, 합, 차의 미분법

➀ 함수 f(x)가 미분가능할 때, 함수 y=cf(x) (c는 상수)의 도함수는

 

➁ 두 함수 f(x), g(x)가 미분가능할 때, 함수 y=f(x)+g(x)의 도함수는

 

③ 마찬가지로 y=f(x)-g(x)의 도함수를 구할 수 있다.

 

(3) 함수의 곱의 미분법

두 함수 f(x), g(x)가 미분가능할 때, 함수 y=f(x)g(x)의 도함수는

 

미분계수