포물선의 접선의 방정식

■ 포물선의 접선의 방정식

 

1. 포물선의 접선의 방정식 - 접선의 기울기가 주어질 때

포물선 에 접하고 기울기가 m 인 직선의 방정식은 ⇒

 

▷ 증명

구하는 접선의 방정식을 이라 하고, 이것을 포물선의 방정식 에 대입하여 정리하면

이차방정식의 판별식 D=0이어야 하므로

따라서 

그러므로 구하는 접선의 방정식은

(단, )

 

2. 포물선의 접선의 방정식 - 포물선 위의 점에서의 접선의 방정식

⑴ 포물선 위의 점 에서의 접선의 방정식은 ⇒  ⑵ 포물선 위의 점 에서의 접선의 방정식은 ⇒

▷ 증명

(i) 일 때, 접선의 기울기를 m 이라고 하면

구하는 접선의 방정식은

, 즉

         …… ①

한편 포물선 에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은

     …… ②

직선 ①, ②의 y절편을 비교하면

양변에 m을 곱하여 정리하면

( 이므로)

이것을 ①에 대입하여 정리하면

             …… ③

(ii) 일 때, 이므로

원점에서 접선의 방정식은 x=0이다.

따라서 ③이 성립한다.

(i), (ii)에서 구하는 접선의 방정식은 

 

※ 이차곡선 위의 점 에서 접선의 방정식은 다음과 같이 기억하면 쉽게 접선의 방정식을 구할 수 있다.

상수항은 그대로

 

3. 포물선의 접선의 방정식 -포물선 밖의 점에서 접선의 방정식

(1) 기울기 m이라 놓고 판별식을 D=0을 이용하여 기울기 구하기

(2) 접점을 이라 놓고 이차곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 이용하여 접점 구하기

(3) 기울기를 m이라 놓고 기울기가 주어진 접선의 방정식을 이용하여 m값 구하기

 

이차곡선의 접선의 방정식 구하는 요령 접선의 방정식 구하기 포물선의 접선의 성질