쌍곡선의 접선의 방정식

■ 쌍곡선의 접선의 방정식

 

1. 쌍곡선의 접선의 방정식 - 접선의 기울기가 주어질 때

쌍곡선 에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은 ⇒ (단, )

▷ 증명

구하는 접선의 방정식을 이라 하고,

이것을 쌍곡선의 방정식 에 대입하여 정리하면

일 때,

이 이차방정식의 판별식을 D라고 하면

따라서 

그러므로 구하는 접선의 방정식은

(단, )

 

2. 쌍곡선의 접선의 방정식 - 접점의 좌표가 주어질 때

쌍곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은 ⇒

▷ 증명

(i) 일 때, 접선의 기울기를 m이라고 하면 구하는 접선의 방정식은

, 즉

         …… ①

한편 쌍곡선 에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식은

   …… ②

직선 ①, ②가 같으므로

이 식의 양변을 제곱하여 정리하면

이때 이므로

따라서 

이것을 ①에 대입하여 정리하면

  …… ③

(ii) 일 때, 이고 접점 (a, 0), (-a, 0)이므로 접선의 방정식은 이다.

이 경우에도 ③이 성립한다.

(i), (ii)에서 구하는 접선의 방정식은 

 

3. 쌍곡선의 접선의 방정식 -쌍곡선 밖의 점에서 접선의 방정식

(1) 기울기 m이라 놓고 판별식을 D=0을 이용하여 기울기 구하기

(2) 접점을 이라 놓고 이차곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 이용하여 접점 구하기

(3) 기울기를 m이라 놓고 기울기가 주어진 접선의 방정식을 이용하여 m값 구하기

쌍곡선의 방정식 접선의 방정식 구하기