공간좌표

■ 공간좌표

 

1. 좌표공간

(1) 좌표공간 : 좌표축과 좌표평면이 정해진 공간

(2) 좌표축 : 세 개의 수직선을 공간의 한 점 O에서 서로 직교하도록 그린다. 이때 점 O를 원점, 세 개의 수직선을 각각 x축, y축, z축이라 하고, 세 개의 축을 좌표축이라고 한다.

(3) 좌표공간에서의 좌표평면

➀ xy평면 : x축과 y축을 포함하는 평면

➁ yz평면 : y축과 z축을 포함하는 평면

③ zx평면 : z축과 x축을 포함하는 평면

 

2. 공간좌표

(1) 공간좌표 : 좌표공간의 한 점 P에 대응하는 세 실수의 순서쌍 (a, b, c)는 일대일로 대응되며, 순서쌍 (a, b, c)를 점 P의 공간좌표 또는 좌표라 하고, P(a, b, c)로 나타낸다.

(2) 점 P(a, b, c)에서 a, b, c를 각각 점 P의 x좌표, y좌표, z좌표를 나타낸다.

 

3. 좌표축 또는 좌표평면 위의 점

(1) 좌표축 위의 점

① x축 위의 점 : (a, 0, 0)

② y축 위의 점 : (0, b, 0)

③ z축 위의 점 : (0, 0, c)

(2) 좌표평면 위의 점

① xy평면 위의 점 : (a, b, 0)

② yz평면 위의 점 : (0, b, c)

③ zx평면 위의 점 : (a, 0, c)

 

4. 수선의 발

(1) 좌표축에 내린 수선의 발

좌표공간의 점 P(a, b, c)에서 x축, y축, z축에 내린 수선의 발을 각각 A, B, C라 하면

⇒ A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c)

(2) 좌표평면에 내린 수선의 발

좌표공간의 점 P(a, b, c)에서 xy평면, yz평면, zx평면에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라 하면

⇒ D(a, b, 0), E(0, b, c), F(a, 0, c)

 

5. 좌표평면에 점의 대칭이동

(1) 좌표축 대칭이동

좌표공간의 점 P(a, b, c)를 x축, y축, z축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 A, B, C라 하면

⇒ A(a, -b, -c), B(-a, b, -c), C(-a, -b, c)

(x축에 대한 대칭이동)

(2) 평면의 대칭이동

좌표공간의 점 P(a, b, c)를 xy평면, yz평면, zx평면에 대하여 대칭이동한 점을 각각 D, E, F 라 하면

⇒ D(a, b, -c), E(-a, b, c), F(a, -b, c)

(xy평면에 대한 대칭이동)

(3) 원점 대칭이동

좌표공간의 점 P(a, b, c)를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 P'이라 하면

⇒ P'(-a, -b, -c)