이항정리

■ 이항정리

 

1. 이항정리

자연수 n에 대하여 

을 전개하면

이 전개식을 이항정리라 한다.

각 항의 계수

을 이항계수라 하고, 

을 

의 전개식의 일반항이라고 한다.

 

2. 이항계수의 성질

(1) 파스칼의 삼각형

자연수 n의 값이 1, 2, 3, 4, …일 때, 

의 전개식에서 이항계수를 다음과 같이 배열하고 가장 위쪽에 자연수 1을 놓아 삼각형 모양으로 만들 수 있다.

 

이와 같이 이항계수를 배열한 것을 파스칼의 삼각형이라고 한다.

 

➀ 이항계수의 이웃하는 두 수를 더하면 그 다음 단계의 이항계수가 된다.

⇒ 

➁ 

의 계수와 

의 계수는 같으므로 이항계수의 배열은 좌우대칭이다.

⇒ 

 

(2) 이항계수의 성질

에서

➀ 

➁ 

③ 

④ 

 

수학적 귀납법을 이용한 이항정리의 증명