모평균의 추정

■ 모평균의 추정

 

1. 추정

표본을 조사해 얻은 정보를 이용하여 모평균, 모표준편차와 같이 모집단의 특성을 나타내는 값을 추측하는 것을 추정이라고 한다.

 

2. 모평균에 대한 신뢰구간

정규분포

을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 n인 표본의 표본평균

의 값이

일 때, 모평균 m에 대한 신뢰구간은

(1) 신뢰도 95%의 신뢰구간

(2) 신뢰도 99%의 신뢰구간

 

※ 표본평균

는 확률변수이므로 추출하는 표본에 따라

가 달라지고 신뢰구간도 달라진다. 이 신뢰구간 중에는 그림과 같이 모평균 m을 포함하는 것과 포함하지 않는 것이 있을 수 있다.

이때 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간이란 크기가 n인 표본을 여러 번 추출하여 신뢰구간을 만들 때, 이들 중에서 95%정도는 모평균 m을 포함할 것으로 기대된다는 뜻이다.

 

※ 일반적인 모평균의 신뢰구간

표준정규분포표에서 나온 숫자로 신뢰도와 연관된 숫자를 찾아서 α%의 신뢰도를 구할 때 다음과 같이 구한다.

이면

(1) α%의 신뢰도에 관련된 k값을 구함.

(2) 신뢰구간

 

3. 신뢰구간의 길이와 오차

모평균의 신뢰구간이

일 때

(1) 신뢰구간의 길이

(2) 최대 오차

 

※ 모평균을 추정할 때 신뢰구간의 길이는 짧을수록 좋다.

신뢰구간의 길이를 줄이려고 하면 신뢰도가 낮아진다.

거꾸로 신뢰도를 높이려고 하면 신뢰구간의 길이가 길어진다.

신뢰도를 유지한 채 신뢰구간의 길이를 줄이는 유일한 방법은 표본의 크기를 늘리는 것이다.

 

모집단과 표본