명제의 증명

■ 명제의 증명

 

1. 정의, 증명, 정리의 뜻

(1) 정의 : 용어의 뜻을 명확하게 정한 문장

(예 : 직사각형은 네 각의 크기가 모두 같은 사각형이다.)

(2) 증명 : 이미 알려진 사실이나 성질을 이용하여 명제의 참, 거짓을 논리적으로 밝히는 과정

(3) 정리 : 증명된 명제 중에서 기본이 되는 것이나 다른 명제를 증명할 때 이용할 수 있는 중요한 명제

(예 : 직사각형의 두 대각선의 길이가 서로 같고, 서로 다른 것을 이등분한다.)

 

2. 명제의 증명

명제 p → q가 참임을 증명할 때, 일반적으로 가정 p가 참이라는 것에서 출발하여 결론 q가 참이라는 것을 끌어내 증명

 

3. 명제의 증명 방법

(1) 대우를 이용하는 방법

명제와 그 대우는 참, 거짓이 일치하므로 명제 p → q가 참임을 증명할 때는 그 대우 ∼q → ∼p가 참임을 증명

(명제가 참임을 증명하기 어려울 때 그 대우가 참임을 이용)

예)

 

(2) 귀류법

어떤 명제가 참임을 직접 증명하기 어려울 때, 그 명제의 결론을 부정하면 가정, 정리 등에 모순임을 밝힘으로써 그 명제가 참임을 증명

(p이면 q이다를 증명할 때 q가 아니라면 p에 모순이다를 이용)

예)

 

명제의 역과 대우 명제 p → q