'모든'또는 '어떤'을 포함한 명제

■ ‘모든’ 또는 ‘어떤’을 포함한 명제

 

1. ‘모든’ 또는 ‘어떤’을 포함한 명제의 참, 거짓

일반적으로 조건 p는 참, 거짓을 판별할 수 없지만, 조건 p 앞에 ‘모든’이나 ‘어떤’이 있으면 참, 거짓이 판별되므로 명제가 된다.

명제 ‘모든 x에 대하여 p이다.’가 참이라는 것은 전체집합 U의 모든 원소에 대하여 조건 p가 참이 됨을 뜻한다.

명제 ‘어떤 x에 대하여 p이다.’가 참이라는 것은 전체집합 U의 원소 중에서 조건 p가 참이 되게 하는 원소가 적어도 하나 존재함을 뜻한다.

 

전체집합 U에 대하여 조건 p의 진리집합을 P라 할 때,

 

▶ ‘모든 x에 대하여 p’가 참이려면 모든 x에 대하여 p가 성립해야 한다.

p를 만족시키지 않는 것이 단 하나만 존재해도 거짓이 된다.

‘어떤 x에 대하여 p’가 참이려면 어떤 x에 대하여 p가 성립하면 된다.

p를 만족시키는 것이 단 하나만 존재해도 참이 된다.

 

2. ‘모든’ 또는 ‘어떤’을 포함한 명제의 부정

명제 ‘모든 x에 대하여 p이다.’의 부정은 ‘p가 아닌 x가 있다.’

즉, ‘어떤 x에 대하여 ∼p이다.’

명제 ‘어떤 x에 대하여 p이다.’의 부정은 ‘p인 x가 없다.’

즉, ‘모든 x에 대하여 ∼p이다.’

▶ 모든의 부정은 어떤이고 어떤의 부정은 모든이 된다.

 

 

명제와 조건 명제와 조건의 부정 명제