벡터의 내적을 이용한 코시-슈바르츠 부등식 증명

벡터의 내적을 이용한 코시-슈바르츠 부등식 증명

 

실수 a, b, x, y에 대하여 코시-슈바르츠 부등식

이 성립함을 벡터의 내적을 이용하여 증명해 보자.

두 평면벡터 라 하고 두 벡터 가 이루는 각의 크기를 라 하면

벡터의 내적은 이다. 이를 이용하면

에서 이므로

따라서 이다.

위의 식의 양변을 제곱하면 다음이 성립한다.

위와 같이 코시-슈바르츠 부등식이 증명된다. 벡터의 내적을 이용하면 부등식의 증명도 쉽게 할 수 있다.

[Joy Of Math/생각넓히기] - 산술평균, 기하평균, 조화평균과 코시-슈바르츠의 부등식