정사면체, 정팔면체의 이면각

■ 정사면체의 이면각            

 

정다면체의 이웃하는 두 면이 이루는 이면각의 크기는 어떤 면에 대해서도 일정하다. 정사면체의 이면각의 크기를 구하여 보자.

 

정사면체 ABCD의 두 면이 이루는 이면각의 크기를 라고 하자.

삼각형 ABC의 점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 M이라고 하면 삼각형 ABC가 정삼각형이므로 점 M이 변 BC의 중점이 된다.

삼각형 DBC의 점 D에서 변 BC에 내린 수선의 발을 M′이라고 하면 점 M′도 변 BC의 중점이 되어 M과 M′이 일치한다.

즉,        ⋯⋯①

이므로 ∠AMD의 크기가 가 된다.

점 A에서 면 DBC에 내린 수선의 발을 G라고 하자.

삼수선의 정리에 의하여

                      ⋯⋯②

이다. 따라서 ①, ②에서 점 G는 선분 DM위에 있다.

같은 방법으로 점 G는 점 B에서 변 CD에 내린 수선 위에 있다.

삼각형 DBC는 정삼각형이므로 점 G는 삼각형 DBC의 무게중심이다.

즉,             ⋯⋯③

삼각형 ABC와 삼각형 DBC는 합동이므로

                     ⋯⋯④

이다. 따라서 ③, ④에서 이다.

 

■ 정팔면체의 이면각            

정팔면체에서 이웃하는 두 면이 이루는 이면각의 크기를 라고 할 때 , 의 값을 구해 보자.

그림과 같이 한 모서리의 길이가 2인 정팔면체에서 꼭지점 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 M, 꼭지점 A에서 면 BCDE에 내린 수선의 발을 H라 하자.

 

이 때, 이므로 

따라서