치환적분법

■ 치환적분법

1. 치환적분법

한 변수를 다른 변수로 치환하여 적분하는 방법을 치환적분법이라 한다.

미분가능한 함수 에 대하여  로 놓으면

 

▷치환적분법 증명

(1) 함수  의 한 부정적분을  라고 하고, 미분가능한 함수  에 대하여  로 놓으면

이때  를 t에 대하여 미분하면

 (왜냐하면  이므로  )

이므로

이때

 이므로

 

(2) 또 다른 방법

함수  의 한 부정적분을  라고 하면

  ……①

미분가능한 함수  에 대하여  로 놓으면

합성함수의 미분법을 이용하여  를 t에 대하여 미분하면

따라서

  ……②

①, ②에서

 

이와 같이 변수 x를 다른 변수로 바꾸어 적분하는 방법을 치환적분법이라 한다.

 

치환적분 활용 예

 이면 

   (단, a, b는 상수,  )

(1) 

   ⇒  (단,  )

(2)  

  ⇒ 

(3)  

  ⇒ 

   

  ⇒ (단, )

(4) 

  ⇒ 

    

  ⇒ 

 

2.  꼴의 부정적분

 꼴의 부정적분에서

 로 놓으면

 이므로 치환적분법에 의해

 

3.  꼴의 부정적분

 꼴의 부정적분에서

 로 놓으면

 이므로 치환적분법에 의해

따라서

※  의 꼴이 아닌 유리함수의 부정적분을 구하는 방법

(1) (분자의 차수) ≥ (분모의 차수) 인 경우

① 인수분해가 될 때 ⇒ 인수분해하여 약분한다.

② 인수분해가 되지 않을 때 ⇒ 분자를 분모로 나누어 몫과 나머지의 꼴로 나타낸다.

(2) (분자의 차수) < (분모의 차수) 인 경우

부분분수로 변형한다. 

삼각함수로 치환하는 치환적분법(삼각치환법)