곡선의 오목과 볼록, 변곡점

■ 곡선의 오목과 볼록, 변곡점

곡선의 오목과 볼록

어떤 구간에서 곡선  위의 임의의 두 점 P, Q에 대하여

(1) 두 점 P, Q 사이에 있는 곡선이 선분 PQ보다 항상 아래쪽에 있으면

곡선  는 이 구간에서 아래로 볼록(또는 위로 오목)하다고 한다.

(2) 두 점 P, Q 사이에 있는 곡선이 선분 PQ보다 항상 위쪽에 있으면

곡선  는 이 구간에서 위로 볼록(또는 아래로 오목)하다고 한다.

곡선의 오목과 볼록의 판정

함수  가 어떤 구간에서

(1)  이면 곡선  는 이 구간에서 아래로 볼록하다.

(2)  이면 곡선  는 이 구간에서 위로 볼록하다.

 

이계도함수를 이용하여 곡선의 오목과 볼록을 조사해 보자.

(1) 함수  가 어떤 구간에서

 이면 그 구간에서  는 증가하므로

곡선  의 접선의 기울기(  )가 증가한다.

 ⇒  가 증가 ⇒ 접선의 기울기 증가 ⇒  자형(아래로 볼록)

 

(2) 마찬가지로 함수  가 어떤 구간에서

 이면 그 구간에서  는 감소하므로

곡선  의 접선의 기울기(  )가 감소한다.

 ⇒  가 감소 ⇒ 접선의 기울기 감소 ⇒  자형(위로 볼록)

 

변곡점

곡선  위의 점  에 대하여  의 좌우에서 곡선의 모양이 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 변하거나 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 변할 때, 점 를 곡선  의 변곡점이라고 한다.

따라서 함수  가 이계도함수를 가질 때, 변곡점  의 좌우에서  의 부호가 바뀌므로  가 존재하면 이다.

 

변곡점의 판정

이계도함수를 갖는 함수  에 대하여  이고  의 좌우에서  의 부호가 바뀌면 점  는 곡선 의 변곡점이다.

또한  에서 점  가 변곡점이면  이다.

함수의 극대와 극소