■ 곡선의 오목과 볼록, 변곡점
곡선의 오목과 볼록 |
어떤 구간에서 곡선 위의 임의의 두 점 P, Q에 대하여
(1) 두 점 P, Q 사이에 있는 곡선이 선분 PQ보다 항상 아래쪽에 있으면
곡선 는 이 구간에서 아래로 볼록(또는 위로 오목)하다고 한다.
(2) 두 점 P, Q 사이에 있는 곡선이 선분 PQ보다 항상 위쪽에 있으면
곡선 는 이 구간에서 위로 볼록(또는 아래로 오목)하다고 한다.
곡선의 오목과 볼록의 판정 |
함수 가 어떤 구간에서
(1) 이면 곡선
는 이 구간에서 아래로 볼록하다.
(2) 이면 곡선
는 이 구간에서 위로 볼록하다.
이계도함수를 이용하여 곡선의 오목과 볼록을 조사해 보자.
(1) 함수 가 어떤 구간에서
이면 그 구간에서
는 증가하므로
곡선 의 접선의 기울기(
)가 증가한다.
⇒
가 증가 ⇒ 접선의 기울기 증가 ⇒
자형(아래로 볼록)
(2) 마찬가지로 함수 가 어떤 구간에서
이면 그 구간에서
는 감소하므로
곡선 의 접선의 기울기(
)가 감소한다.
⇒
가 감소 ⇒ 접선의 기울기 감소 ⇒
자형(위로 볼록)
변곡점 |
곡선 위의 점
에 대하여
의 좌우에서 곡선의 모양이 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 변하거나 위로 볼록에서 아래로 볼록으로 변할 때, 점
를 곡선
의 변곡점이라고 한다.
따라서 함수 가 이계도함수를 가질 때, 변곡점
의 좌우에서
의 부호가 바뀌므로
가 존재하면
이다.
변곡점의 판정 |
이계도함수를 갖는 함수 에 대하여
이고
의 좌우에서
의 부호가 바뀌면 점
는 곡선
의 변곡점이다.
또한 에서 점
가 변곡점이면
이다.