이차방정식의 켤레근 증명

■ 이차방정식의 켤레근

 

이차방정식 (a, b는 실수)의 한 허근이 (p, q는 실수, )이면 그 켤레복소수 도 방정식의 근임을 확인해 보자.

 

(1) 근을 직접 대입하기

이차방정식 에 를 대입하면

이때 a, b, p, q는 모두 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

…… ①

2pq+aq=0       …… ②

이므로 ②에서

2p+a=0

즉 a=-2p         …… ③

③을 ①에 대입하여 정리하면

따라서 주어진 이차방정식은 이므로

에서 주어진 이차방정식의 두 근은 , 이다.

 

(2) 근과 계수의 관계를 이용하기

이차방정식 의 한 허근을 , 다른 한 근을 라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여

           …… ①

이때 a, b, p, q는 모두 실수이므로 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

-2pq-aq=0

이므로

-2p-a=0

즉 a=-2p          …… ②

②를 ①에 대입하여 정리하면 

따라서 주어진 이차방정식의 두 근은 , 이다.

이차방정식의 켤레근과 실근의 부호