무리함수

■ 무리함수

함수 y=f(x)에서 f(x)가 x에 대한 무리식 일 때, 이 함수를 무리함수라 한다.

무리함수에서 정의역이 주어지지 않을 때에는 근호 안의 식의 값이 0이상이 되도록 하는 실수 전체의 집합을 정의역으로 한다.

 

1. 무리함수 의 그래프

에서 이므로 그 역함수는 이다.

역함수 의 그래프와 직선 y=x에 대하여 대칭이므로 a의 부호에 따라 아래 그림과 같다.

(1) a>0일 때, 정의역은 , 치역은 이다.
a<0일 때, 정의역은 , 치역은 이다.

(2) 함수 의 그래프와 직선 에 대하여 대칭이다.

 

2. 함수 의 그래프

함수 의 그래프와 x축에 대하여 대칭이므로 a의 부호에 따라 아래 그림과 같다.

 

(1) a>0일 때, 정의역은 , 치역은 이다.
a<0일 때, 정의역은 , 치역은 이다.

(2) 함수 의 그래프와 직선 x축에 대칭이다.

 

▶ 정리 무리함수 의 그래프 (1) k>0, a>0 ⇒ 1사분면 (위쪽에서 오른쪽 방향) (2) k>0, a<0 ⇒ 4사분면 (아래쪽에서 오른쪽 방향) (3) k<0, a>0 ⇒ 2사분면 (위쪽에서 왼쪽 방향) (4) k<0, a<0 ⇒ 3사분면 (아래쪽에서 왼쪽 방향) ※ 무리함수 그래프의 출발점은 근호 안의 값이 0이 되는 값이다.

3. 무리함수 의 그래프

(1) 함수 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 것이다.

(2) a>0일 때, 정의역은 , 치역은 이다.
a<0일 때, 정의역은 , 치역은 이다.

 

4. 무리함수 의 그래프

(1) 의 꼴로 변형하여 그릴 수 있다.

(2) 는 로 변형되므로

함수 의 그래프를 x축 방향으로 만큼, y축 방향으로 c만큼 평행이동한 것이다.

 

5. 무리함수의 역함수 구하기

무리함수의 역함수를 구할 때는 정의역과 치역에 주의한다.

(1) 주어진 함수의 정의역과 치역을 구한다.

(2) 역함수를 구하기 위해 x와 y를 바꾼다.

(3) y=x에 관한식=g(x)으로 정리한다. 이때 

(4) x와 y를 바꿀 때 정의역과 치역도 바꾼다.

무리식 유리함수