부등식에의 활용

■ 미분에서 부등식에의 활용

 

1. 모든 실수 x에 대하여 f(x)>0 또는 f(x)<0

부등식 f(x)>0이 성립함을 증명하려면 f(x)의 최솟값이 0보다 크다는 것만 보이면 된다.

(최솟값이 0보다 크면 다른 값은 0보다 더 크기 때문)

부등식 f(x)<0도 마찬가지 최댓값이 0보다 작다는 것만 보이면 된다.

(1) 모든 실수 x에 대하여 부등식 f(x)>0

➡ (f(x)의 최솟값)>0

⑵ 모든 실수 x에 대하여 부등식 f(x)<0

➡ (f(x)의 최댓값)<0

 

2. x≥a일 때, f(x)>0임을 증명하는 방법

(1) x≥a에서 f(x)의 최솟값이 0보다 큰 것을 보이면 된다.

(2) f(x)가 증가함수일 때,

x≥a에서 f(x)의 최솟값은 f(a)이므로 f(a)>0이면 f(x)>0이다.

 

3. 두 함수 f(x), g(x)에 대하여 어떤 구간에서 부등식 f(x) ≥ g(x)가 성립함

을 보이려면 그 구간에서

f(x) - g(x)≥ 0

임을 보이면 된다.

 

방정식에의 활용 함수의 최댓값과 최솟값 함수의 그래프