내분점, 외분점, 무게중심의 위치벡터

■ 내분점, 외분점, 무게중심의 위치벡터

 

1. 선분의 내분점과 외분점의 위치벡터

두 점 A, B의 위치벡터를 각각 라고 할 때

(1) 내분점의 위치벡터 

선분 AB를 m:n ( )으로 내분하는 점 P의 위치벡터를 라고 하면 ⇒

 

(2) 외분점의 위치벡터 

선분 AB를 m:n ( , )으로 외분하는 점 Q의 위치벡터를 라고 하면 ⇒

(3) 선분의 중점의 위치벡터

선분 AB의 중점 M의 위치벡터를 이라고 하면 ⇒

                                           

▷ 증명

(1) 내분점

이므로

, 이므로

 

(2) 외분점

m>n일 때,

이므로

, 이므로

(3) 중점

중점은 1:1로 내분하는 점이므로

내분점의 위치벡터 공식에 m=1, n=1을 대입하면

 

2. 삼각형의 무게중심의 위치벡터

세 점 A, B, C의 위치벡터를 각각 라고 할 때 삼각형 ABC의 무게중심 G의 위치벡터를 라고 하면 ⇒

 

▷ 증명

그림과 같이 선분 AB의 중점을 M이라고 하면 점 M의 위치벡터 은

삼각형 ABC의 무게중심 G는 중선 CM을 2:1로 내분하므로

 

위치벡터 선분의 내분점과 외분점 평면벡터에서 점 P의 위치(내분점과 벡터의 합)