벡터의 내적

■ 벡터의 내적

 

1. 두 평면벡터가 이루는 각

영벡터가 아닌 두 평면벡터 를 각각 시점을 한점 O로 하는 위치벡터

가 되도록 세 점 O, A, B를 잡을 때,

를 두 벡터 가 이루는 각의 크기라고 한다.

 

2. 평면벡터의 내적

두 평면벡터 가 이루는 각의 크기가 일 때,

를 두 벡터 의 내적이라 한다.

⇒ 또는 이면 

⇒ 이면 이고 이므로 

※ 벡터의 내적값은 벡터가 아니라 실수값이다.

 

3. 평면벡터의 내적과 성분

두 평면벡터 , 에 대하여

⇒ 

 

▷ 증명

영벡터가 아닌 두 평면벡터 가 이루는 각의 크기가 일 때, 두 벡터 를 각각 원점 O를 시점으로 하는 위치벡터

라 하면

(1) 내적의 성질의 이용

위 등식을 성분으로 나타내면

이 식을 정리하면 

(2) 피타고라스 정리 이용

일 때, 점 A에서 선분 OB에 내린 수선의 발을 H라 하면

삼각형 AHB가 직각삼각형이므로

따라서

이 식을 정리하면 

같은 방법으로 위의 식은 일 때에도 성립한다.

 

4. 평면벡터의 내적의 성질

세 평면벡터 와 실수 k에 대하여

(1)  (교환법칙)

(2)  (분배법칙)

                             

(3)  (단, k는 실수)

내적의 성질에서 알 수 있듯이 수나 문자의 연산처럼 자유롭게 계산하면 된다.

 

벡터의 성분 벡터의 내적을 이용한 코사인법칙 증명 평면벡터의 내적을 이용하여 중선정리(아폴로니오스의 정리) 벡터의 내적으로 구하는 삼각형의 넓이